退職したら実家に引っ越してからハローワークに通って仕事探します。
もちろん引っ越したら住所変更します。
求職手続きや失業保険給付手続きは、引越し後の地域のハローワークで行えば問題ないですか？
それとも今住んでるの地域のハローワークで、あらかじめ何か手続きなど必要でしょうか？

失業保険給付手続きは現住所の所管ハローワークでおこないます。
その後住所を変更した場合は、所定の手続きをすれば
失業保険給付も移転先のハローワークに引き継がれます。
なお、求職活動はどこのハローワークでおこなおうと制限はありません。

失業保険を貰えるのは、
失業してから1週間後からですか？
ハローワークに離職表を持って行ってから1週間後ですか？
それとも

ハローワークで雇用保険受給手続きをしてからですが、実際にお金が振込されるのは、会社都合等での離職者で約1ヶ月後から、自己都合による離職者は約3ヶ月半～4ヶ月後からになります。

５年ほど派遣会社で働き、１２月で退社しました。
健康保険は派遣組合の「はけんけんぽ」というものに加入しており、
３ヶ月ほど延長してもらうことにしました。
４月に結婚し、夫の扶養に入ります。
いちおう派遣会社に在籍という形にはなっていますが、退職しているので
離職票は出してもらえるように申請しています。

この場合、失業保険はいつからいつまでもらえるのでしょうか。

3ヶ月延長は健康保険のみですよね。
雇用保険上は12月退職で離職票も出ますので、
すぐ手続きすれば7日の待期期間と、3ヶ月の給付制限期間が過ぎれば受給できます。
が、あくまでも求職の申し込みをしての事です。
5年の勤務であれば、90日の受給です。

失業保険について
派遣社員で働いています
1/9で現職場を退職します
現職場は雇用保険に加入して６ヶ月をみたないので前職の雇用保険分で申請を行う予定なのですが
その場合ハローワークでの受付日は、1月9日になりますでしょうか？
それとも31日になりますか？

文章の意味がよくわかりませんが。

まず、雇用保険の基本手当に係る算定基礎期間は被保険者期間2年間に12ヶ月以上必要です。現職が6ヶ月未満だとすると、前職からの現職までの離職期間が1年以内でない通算できません。 ただ、派遣の場合だと登録型か常用型かで違いますのでよく調べてね。

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